피보나치 수열과 황금비

1. 피보나치 수열이 무엇입니까?

어떤 수열의 항이, 앞의 두 항의 합과 같은 수열을
피보나치 (Fibonacci) 수열이라고 합니다.
피보나치 라는 수학자의 이름을 따서 지었습니다.

이 수열을 F(n) 이라고 쓸 때,
편의상 F(0)=1, F(1)=1 이라고 한 것만을
피보나치 수열이라 부르기도 합니다.

점화식을 배웠다면...

F(0)=1
F(1)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n), (단 n 은 0 이상의 정수)

로 정의되는 수열을 피보나치 수열이라고 합니다.

몇 개 써보면,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
인 수열을 말합니다.

2. 황금비(Golden Ratio) 가 무엇입니까?

가로, 세로의 길이의 비가 1:r (단, r > 1)인 직사각형에서,
한 변의 길이가 1인 정사각형을 오려낼 때,
남은 직사각형 r-1:1 이,
오려내기 전의 원래 직사각형과 닮은 직사각형이 될 때,
r 을 황금비라고 합니다.

비례식으로 계산하면, 1:r = r-1:1 에서
r^2 - r -1=0
이 성립하고, 2차 방정식을 풀어 r을 구하면,
(root(5) +1)/2 가 됩니다.

근사값은 대략, 1.6180339887... 입니다.

앞서 말한 피보나치 수열
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

에서, 이웃한 두 항의 비,
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, ...
를 구하면 그 극한값이 황금비와 같습니다.

3. 자연스럽고 아름다운 시민광장의 황금비율

위의 1, 2는 인터넷에서 검색해서 찾아 올렸는데요. 이해가 잘 안되시죠?
저도 이해하려니 머리만 아픕니다.

말하고 싶은 것은 위의 수학적인 공식이 아니고요. 자연계의 많은 현상 및, 비례적인 많은 예술 작품에는 황금비가 숨어있다는 것입니다.

자연계의 현상중에 우주의 나선은하계, 태풍의 눈, 앵무조개 껍질, 알래스카 큰뿔 양 등 자연계에 존재하는 많은 회오리 모양에서 정중앙을 중심으로 십자선을 그어보면 일정비율로 점점 커지는 원주가 연속해서 나타난다는 것입니다.

그리고 점점 길어지는 각 원주의 반지름 길이를 비율로 나타내면 1:1:2:3:5:13…로 피보나치 수열의 수를 따라 그 회오리가 커져가지요. 따라서 피보나치 수열에서 앞 항으로 다음 항을 나누면 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5. 5/3=1.666, 8/5=1.6, 13/8=1.1625 등이 되는데, 이는 바로 황금비율 1:1.618에 근접한다는 것입니다.

또한 황금비 5:8 은 1:1.618 와 같습니다. 그런데 1:(1+root5)/2 , 근사값으로 1:1.618 은 "황금비" 라 불리는 값으로 예로부터 미술이나 건축에 많이 사용되어 왔습니다. 그 이유는 그 비례가 가장 균형잡히고 아름다운 것으로 느껴지기 때문입니다.

황금비가 아름답게 느껴지는 이유는 아마도 자연에서 흔히 볼 수 있기 때문이 아닌가 생각됩니다. 예를들어 꽃은 정오각형 모양으로 되어 있는 경우가 대부분인데 정오각형의 한 변과 한 대각선의 길이의 비가 정확히 황금비입니다. 그 외에도 나뭇가지가 갈라진 모양, 사람이 팔을 벌렸을 때 가로와 세로의 비 등도 황금비에 가깝다고 합니다. 자연에서 황금비가 나타나는 것은 성장이나 변화의 법칙에 의한 자연스런 결과라는 것입니다.

저는 여기서 점차 증가하고 있는 시민광장의 전체회원과 CMS회원의 비율에 주목하게 됩니다.

그 둘 사이에는 첫 날부터 오늘까지 신기한 비율이 적용되고 있는데..., 한 번 확인해 보신 분들은 천체회원과 CMS회원이 5:8 황금비를 이룬다는 것입니다. 이 비율은 처음부터 지금까지 변한 적이 없습니다.

지금 그 비율을 계산해 보니 1:1.68 정도 되네요.

누가 인위적으로 만든 것도 아닐텐데..., 자연의 놀라운 신비를 이 곳 시민광장에서도 발견하게 되다니 놀랍습니다.

시민광장도 태풍처럼 그 중심에서부터 황금비율을 이루며 점차 원주의 반지름을 키워 가겠지요.

시민광장을 통해 얼마나 놀랍고 아름다운 모습이 펼쳐지게 될지 다함께 기대를 가지고 신나게 놀아 보자구요.